Concepto de relaciones y funciones | Técnica de optimización

En este artículo discutiremos sobre el Concepto de Relaciones y Funciones.

En general, los gráficos se usan para descubrir la relación entre diferentes variables, pero cuando las relaciones son complejas, las ecuaciones y las simulaciones por computadora son herramientas más poderosas. Una relación se define como dada si para un valor x, uno o más valores y serán especificados por la relación.

Sin embargo, como caso especial, una relación puede ser tal que para cada valor x exista solo un valor y correspondiente. En ese caso, se dice que y es una función de x, y eso se denota por y - f (x), que se lee: y es igual a f de x [Nota: f (x) no significa f veces x]. Por lo tanto, una función es un conjunto de (x, y) con la propiedad de que cualquier valor de x determina de forma exclusiva un valor de y. Una función debe ser una relación, pero una relación puede no ser una función.

En la función y = f (x), x se conoce como el argumento de la función y y se llama el valor de la función. Alternativamente, nos referimos a x como la variable independiente y a y como la variable dependiente.

Supongamos que N denota la entrada de recursos variables por unidad de tiempo, y Q denota el producto total producido por unidad de tiempo correspondiente a los diferentes niveles de N.

Q = f (N) (4.1)

Tal función de producción está representada por los datos dados en la tabla (4.1).

Es posible expresar la función mediante una ecuación como:

Q = 2N0.5 o Q = 5 + 8N - 2N2

A partir de la cual se pueden calcular los valores de Q para valores específicos de N. En la fig. (4.1), hemos mostrado la tabla (4.1) gráficamente.

Los tres métodos para expresar relaciones: (i) tabla, (ii) gráfico y (iii) ecuación juegan un papel importante en la toma de decisiones.

Relaciones totales, medias y marginales:

En el análisis de optimización, las relaciones totales, medias y marginales son muy útiles. La definición de total y promedio es bien conocida, pero la definición de marginal necesita explicación. Un marginal se considera como el cambio en la variable dependiente de una función asociada con un cambio unitario en una de las variables independientes.

La tabla (4.2) muestra la relación entre totales, promedio y marginal para una función de producción hipotética.

(AP N ) = Producto físico total por período / Unidades de entrada utilizadas por período

2. Producto marginal (MP / N ) = Diferencia entre la cifra sucesiva en el producto físico total por período (col. IV).

La tabla 4.2 se puede trazar gráficamente para mostrar la relación entre la figura total, promedio y marginal. 4.1 (a) y (b).

yo. Producto promedio :

Esto se define como (AP N ) = Q / N

Por lo tanto (AP N ) en el punto A en el gráfico es de 7 unidades. Esta es la pendiente del rayo OA que conecta el punto A con el origen. (AP N ) en B es exactamente el mismo, ya que se encuentra en el mismo rayo a través del origen (39.9 / 5.7 = 7).

ii) Producto marginal :

Si Δ se usa para mostrar un pequeño cambio, de modo que ΔQ es un cambio en Q y ΔN es un cambio en N, entonces el producto marginal se define como:

Esta es la pendiente promedio de la curva de producto total en sí misma durante el intervalo. Por ejemplo (MP N ) para la segunda unidad de entrada es la pendiente de la línea AE que es igual a:

ED / AD = 13/1 = 13

Sin embargo, en un punto dado, (MP) es la pendiente real de la curva de producto total.

Funciones no lineales :

En general, los gráficos lineales y las ecuaciones se utilizan para ilustrar la relación económica. A continuación se muestran algunas de las relaciones no lineales comunes que a menudo encontramos en economía:

En la Fig. 4.3 (a), (b), (c) el valor de y depende del término constante y el valor de x, x2 y x3 respectivamente. En la hipérbola rectangular observada en la fig. 4.3 (d), la curva es asintótica a ambos ejes (la curva no toca los ejes).

En la Fig. 4.3 (e) se muestra un gráfico explicativo que se utiliza para explicar el crecimiento en economía. La figura 4.3 (f) muestra una función logarítmica. En la toma de decisiones, una variable dependiente y puede ser función de más de una variable independiente. Por ejemplo, el producto total es una función del trabajo, capital, combustible, organización empresarial, etc.

Cuando y es una función de más de una variable, la expresamos como:

Para expresar gráficamente la función anterior, necesitamos muchos ejes y la figura se vuelve no solo compleja sino muy engorrosa de dibujar. Incluso sin dibujar estas funciones podemos calcular el promedio y el marginal. Para resolver el marginal, el cálculo conceptual es esencial. En la siguiente sección, presentamos una exposición breve y precisa del cálculo diferencial.

 

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